Introducción Al Análisis Funcional

El objetivo de este libro es proporcionar el material y los conocimientos necesarios a los alumnos del grado en Matemáticas de la Universidad Nacional de Educación a Distancia para superar la asignatura: “Introducción a los espacios de Hilbert”.

La asignatura introduce al alumno en los conceptos generales del análisis funcional, una parte fundamental de la matemática que contiene resultados imprescindibles para entender materias que se estudian con posterioridad en el grado en Matemáticas de la UNED.

El libro comienza con un capítulo introductorio que contiene los resultados matemáticos necesarios para abordar el resto de capítulos sin dificultad. La parte central del libro la forman los capítulos dedicados a los espacios de Banach, de Hilbert y a las aplicaciones lineales: capítulos 4, 7, 9 y 10. En el Capítulo 3 se estudia la integral de Lebesgue y puede ser omitido en una primera lectura, aunque es imprescindible para entender los ejemplos presentados en el resto de capítulos.

El Capítulo 7 comienza con el concepto de producto interno, que introduce la ortogonalidad entre elementos del espacio y define los espacios de Hilbert. Gracias a la ortogonalidad se construyen bases adecuadas en estos espacios.

En el Capítulo 9 se estudian los operadores lineales y se presenta la demostración del teorema de Riesz, necesario para entender el análisis funcional y base fundamental de numerosas aplicaciones. El estudio de los operadores lineales continúa en el Capítulo 10 con operadores compactos. Los operadores compactos y autoadjuntos presentan descomposiciones espectrales dadas en términos de autovalores y autofunciones. El conocimiento de los autovalores y las autofunciones no es imprescindible para el estudio de las series de Fourier (Capítulo 11), pero enriquece su estudio. El libro finaliza con un capítulo dedicado a la transformada de Fourier (Capítulo 12).

En el Capítulo 8 se estudia el problema de optimización de aplicaciones lineales sobre conjuntos convexos. Conocer este capítulo no es necesario para entender los capítulos posteriores, por lo que puede estudiarse o bien a continuación del Capítulo 7 o bien al finalizar el Capítulo 12.

Este libro está enfocado a un aprendizaje autónomo del estudiante, presentando numerosos ejemplos y ejercicios resueltos. Se ha intentado utilizar un lenguaje preciso y claro que permita su comprensión sin dificultad.

Prerrequisitos. Los conocimientos necesarios para seguir el texto son los adquiridos en un curso de cálculo diferencial e integral de varias variables. En el grado en Matemáticas de la UNED, dichos contenidos se imparten en las asignaturas de “Funciones de varias variables I y II”.

Utilización del texto. Para una mejor comprensión del texto se recomienda comenzar por el Capítulo 1 y continuar con los capítulos 2, 3, 4, 5 y 6 en este orden. Después del Capítulo 7 es posible continuar con el Capítulo 8 o pasar a los capítulos 9 y 10. Se recomienda leer el Capítulo 12 a continuación del Capítulo 11.

Dº José Ignacio Tello del Castillo