Integración en Variedades

A lo largo del tiempo, el cálculo diferencial e integral se ha establecido como una de los campos más importantes de las matemáticas moderna. Por un lado, desde un punto de vista intuitivo, el cálculo diferencial se enfoca en entender cómo cambian ciertas cantidades en relación a otras. Por ejemplo, la pendiente de una montaña mide qué tan rápido cambia la altura a medida que recorres la distancia. El cálculo diferencial nos permite no solo medir estos cambios, sino también entender y predecir el comportamiento de funciones y fenómenos en la naturaleza, como el movimiento de un objeto o el crecimiento de una población.

El cálculo integral, por otro lado, trata sobre acumulación de cantidades. En términos generales, uno puede pensar en la integral como la suma de infinitas pequeñas áreas. Dada la gráfica de una función positiva, la integral calcula el área bajo esa curva. Este concepto es especialmente útil cuando quieres sumar algo que cambia continuamente, como la cantidad de agua acumulada en un recipiente bajo un grifo que no fluye a una velocidad constante.

Una de las ideas más poderosas en el cálculo es que estas dos operaciones están íntimamente relacionadas. Los Teoremas fundamentales del cálculo establecen que la derivada y la integral son, en cierto sentido, operaciones inversas. Salvo constante, si calculas la derivada de una integral, en cierto sentido, vuelves al punto de partida, y viceversa.

Este libro se ocupa de una evolución natural y necesaria del cálculo diferencial e integral en una o varias variables. En el cálculo clásico, se trabaja en espacios euclidianos, que son planos y con coordenadas globales. Sin embargo, muchos espacios de interés tanto en matemáticas como en sus aplicaciones, no son euclidianos, sino que tienen estructuras más complejas: superficies como esferas y toros no pueden describirse completamente con un solo sistema de coordenadas globalmente definido. Así, se necesitan herramientas más generales que permitan describir cómo se comportan localmente y cómo estas descripciones locales se conectan globalmente.

El concepto general con el que trataremos en el libro, y que abarca este tipo de espacios no euclidiano, será el de variedad diferenciable. Estas son espacios que, aunque no son planos, pueden ser «suavemente aproximados» por espacios euclidianos en cada punto. Se extenderán, de este modo, conceptos como la derivada y la integral a este tipo de espacios curvos, posibilitando el estudio de propiedades locales y globales.

Observemos que las aplicaciones de esta extensión son muy amplias. En relatividad general, el espacio-tiempo se modeliza como una variedad diferenciable cuatridimensional. Aquí, las herramientas del cálculo sobre variedades son indispensables para describir, por ejemplo, cómo las masas y energías curvan el espacio-tiempo, y cómo estas curvaturas afectan al movimiento de los cuerpos y la propagación de la luz. Uno podría no comprender la motivación del uso de variedades de dimensiones arbitrarias, puesto que el espacio físico no tiene más de cuatro dimensiones (añadiendo la variable temporal). Sin embargo, se pueden encontrar muchos ejemplos que contradicen esta intuición. Para describir geométricamente un sistema dinámico, podemos entender cada uno de sus parámetros como una dimensión en una variedad. En robótica, la configuración de un sistema (como la posición y orientación de un brazo robótico) puede describirse mediante una variedad. Aquí, el cálculo diferencial en variedades permite estudiar el movimiento y la optimización de estas configuraciones. Otro ejemplo surge en teorías de campos, como el electromagnético o el gravitatorio, los campos se describen como secciones de fibrados sobre variedades. Para analizar estos campos y sus interacciones, el cálculo diferencial e integral en variedades es fundamental.

En el primer capítulo, se introduce el concepto de variedad diferenciable, el cual es el escenario natural para extender las ideas del cálculo clásico a dimensiones superiores. Partiendo de preliminares topológicos, se construye la noción de variedad y se exploran sus propiedades fundamentales, proporcionando una base sólida para los capítulos posteriores.

En el segundo capítulo, el cálculo diferencial se despliega en toda su generalidad. Aquí, se aborda la diferenciabilidad de aplicaciones entre variedades y se introducen los conceptos esenciales de fibrados tangente y cotangente, herramientas indispensables para la descripción de campos vectoriales y formas diferenciales.

El tercer capítulo se dedica a los campos vectoriales y las formas diferenciales, elementos cruciales en la formulación moderna del cálculo sobre variedades. La teoría desarrollada en este capítulo sienta las bases para entender el comportamiento de estos objetos bajo transformaciones diferenciables, y su interacción con la estructura geométrica de las variedades.

El cuarto capítulo versa sobre cálculo integral sobre variedades, quizás una de las áreas más ricas y profundas de las matemáticas moderna. Aquí, se discuten las integrales de línea y de superficie, y se presentan los teoremas de Stokes y de Poincaré, que no solo unifican diversos resultados del análisis vectorial clásico, sino que también proporcionan poderosas herramientas para la caracterización de formas diferenciales conservativas.

Finalmente, el quinto capítulo explora una serie de aplicaciones fundamentales de los resultados desarrollados previamente. Entre ellas, se incluyen el teorema de Stokes aplicado a integrales de superficie, el teorema de Green y el teorema de la divergencia, todos ellos ejemplos de cómo el cálculo sobre variedades puede iluminar problemas clásicos de las matemáticas. Además, se abordan teoremas que conectan la topología con el análisis, como el teorema del punto fijo de Brouwer, el teorema de la bola peluda y el teorema fundamental del álgebra.

En este texto se presentan numerosos ejercicios que no solo refuerzan la comprensión teórica, sino que también ofrecen oportunidades para explorar aplicaciones prácticas y conectar los resultados con otros campos de las matemáticas. Este enfoque integral busca proporcionar al lector una visión profunda y operativa del cálculo diferencial e integral sobre variedades, preparando el terreno para futuras investigaciones y aplicaciones avanzadas en matemáticas, física y otras disciplinas científicas.

Resulta pertinente destacar que el objetivo de este libro es fundamentalmente pedagógico: pretende ser una herramienta de aprendizaje para el lector. Así, no tanto en contenido, pero sí en forma, se pretende alejar del formato enciclopédico tan común en el área.

Cabe señalar que, aparte de los ejercicios propuestos, a lo largo del texto el lector se encontrará con preguntas enmarcadas en un recuadro cuyo objetivo no es, necesariamente, que el lector las responda; únicamente pretenden servir como estimulación del espíritu crítico, así como para trabajar la creatividad, incentivar la autonomía, e integrar los conceptos en la memoria a largo plazo del estudiante. Además, la búsqueda de las respuestas a estas preguntas puede ayudar al lector a entender lo que significa investigar en matemáticas, lo que se espera que fomente (en la medida de lo posible) la motivación del estudiante.

Por último, conviene también mencionar que, en el transcurso del texto, el lector se encontrará recuadros bastante más grandes que aquellos que hacen alusión a las preguntas. Estos recuadros no contienen información necesaria para la comprensión del texto; el único propósito de estos es el de servir como una suerte de diálogo con el lector, en el que se le invita a razonar sobre la esencia, intuición o razón de ser de ciertos conceptos o resultados. De esta manera, en resumen, se busca una lectura de velocidad no constante, dedicando algo más de tiempo en ciertos puntos a reflexionar sobre lo que estos recuadros se propone.

Dº Victor Manuel Jiménez Morales

Dº Asier López Gordón