Análisis Matemático

En la formación básica del estudiante del grado de Matemáticas es importante el lenguaje en el que se expresa de manera precisa un problema. Las Matemáticas no pueden ser entendidas sólo como un conjunto de herramientas. Aprender a utilizarlas con corrección y asimilar sus estructuras y conceptos fundamentales, ayudan al estudiante a desarrollar las capacidades lógicas, de abstracción y de demostración.
El estudio del Análisis Matemático es básico para una robusta formación matemática. Esta parte de las Matemáticas está presente en la formación educativa desde los inicios de la Enseñanza Secundaria de cualquier persona, hasta su actuación en el ámbito profesional. Sirve de herramienta para la resolución del problema modelo de una situación real. Las Matemáticas a nivel universitario no pueden ser entendidas sin referencia continua a la modelización básica que hace el Cálculo Matemático de los problemas del mundo tecnológico. Aunque no siempre se resuelven de forma exacta esos problemas, al menos se aproxima a una posible solución. El Cálculo se inicia sobre un elemento difícil de entender: el número real. Calcular o descubrir un cierto número, incógnita, del cual sólo se sabe que cumple ciertas propiedades puede ser importante, pero saber cómo varía ese número en relación a la variación de las condiciones introduce la noción de variable y el concepto de función, el conjunto de números donde todo es coherente.
Objetivos: Para desarrollar los contenidos de este libro, hemos tenido muy presentes los objetivos que se querían conseguir. Hemos querido que el estudiante adquiera ciertas habilidades en los significados matemáticos y sus expresiones conjuntas a una situación visual, se familiarice con el rigor matemático y los procesos deductivos del Análisis. Sobre todo, hemos querido que el estudiante sepa en cada momento lo que hace en su estudio y le proponemos que imite inicialmente lo que se hace en situaciones ejemplares, por ello se le propone inmediatamente una práctica después de cada ejemplo o ejercicio. En esta materia conviene hacer para poder entender, pues entender no es fácil. Hemos pensado en un estudiante aislado de un grupo de compañeros, que estudia solo y que tiene que adquirir las nociones básicas y saber utilizarlas. Tratamos que el lector pueda leer y entender enunciados y que establezca relaciones entre los diferentes enunciados. Que pueda establecer resoluciones y demostraciones por similitud con las formas de resolución de los ejemplos y ejercicios. En este sentido una demostración no es más que la resolución de un problema genérico. Esto nos ha hecho presentar algunas demostraciones de propiedades y teoremas como ejercicio resuelto en la sección correspondiente en cada capítulo. Así pues, no se trata de un libro sin demostraciones, sino un libro donde los resultados no son más que situaciones generales de otras tantas práctica concretas. Nuestra intención es presentar al estudiante una serie de retos teóricos (sin números concretos) y retos prácticos (con números y expresiones concretas) para que el estudiante entienda que los resultados teóricos son fruto de la resolución de algún problema. De esta manera cada uno de los ejercicios resueltos se incorporan al mínimo de resultados presentados claramente como teoría. Esta materia debe aprenderse acumulando la base de conocimiento expuesta tanto definición, proposición, teorema y colorario, como con ejemplos y ejercicios que son presentados como problemas y con su solución. Deben considerarse parte de conocimientos teóricos aquellos ejemplos y ejercicios que son rotulados con un título en letra negrita. Se ha optado por esta forma de añadir resultados teóricos para facilitar el estudio de la materia.
Los contenidos de este libro se inician con una introducción axiomática de los fundamentos de los números reales, la construcción de un modelos de esos números y la recta real en el primer capítulo. En los capítulos segundo se continúa con el estudio de las sucesiones mostradas en el primer capítulo cuando cada término es un número real. En el capítulo tercero se trata un caso particular de sucesión; el concepto de serie numérica. El texto continua con el concepto de variable y el de función haciendo referencia a las propiedades algebraicas del conjunto de funciones reales de variable real. La estructura de espacio vectorial emerge como el soporte donde los problemas tienen sentido. Operar funciones de diversos tipos, bien funciones continuas o bien derivables, pues las funciones elementales son pocas pero se pueden combinar para obtener una vasto cuerpo de nuevas funciones.
El estudiante está familiarizado con los contenidos de los tres últimos capítulos, bien por sus estudios de Bachillerato o bien por el Curso de Acceso a la Universidad, y por tanto no tienen que resultarle extraños una parte de los resultados expuestos. Hemos querido aportar el significado correspondiente a cada algorítmica empleada en cada momento. En la medida de lo posible se ha intentado hacer una interpretación geométrica de la cuestión añadiendo una gráfica aclaratoria. Intentamos que el estudiante entienda la importancia que tiene el aprender la materia de una forma precisa entendiendo las demostraciones y las resoluciones de los ejercicios. Estas demostraciones y esas soluciones deben servir de camino a seguir cuando el estudiante intente describir la resolución de una situación problemática. Determinar la solución es importante pero saber comunicar correctamente esa solución es esencial en esta materia.
Perfil del lector: Este texto está específicamente elaborado para los alumnos de primer curso del grado de Matemáticas de la UNED. Estudiantes que necesitan optimizar el rendimiento de sus horas de estudio, pues al hacer frente a tareas profesionales, no dispone de ayuda ante una eventual dificultad ni de mucho tiempo para resolverlas. En él se desarrollan los contenidos básicos de la asignatura, de manera que pueda leer sin ver las demostraciones para que el lector pueda entender de corrido la problemática tratada, correspondiéndose ésta al nivel de estudiantes de primer curso de educación universitaria. Posteriormente hay que realizar un estudio en profundidad observando los métodos demostrativos y las soluciones.
El estudiante deberá estar atento a los ejercicios prácticos, rotulados con la palabra Práctica, que se le proponen en de cada capítulo. Esas prácticas están situadas después de algunos resultados y ejercicios resueltos. Son prácticas espejo de la situación anterior establecida como ejemplos. El estudiante reproduce el algoritmo empleado en ellos. No hay que decidir qué hacer, sino hacerlo. El problema de estas situaciones prácticas es que una pequeña variación en la función puede acarrear una complejidad de cálculo que parece indicar que no se entiende la algorítmica de la resolución.
Resaltamos que cualquier ejercicio o ejemplo forma parte del engranaje teórico de la materia, aunque sea a un nivel particularizado.
Prerrequisitos: Hemos supuesto que el lector ya posee alguna familiaridad con las matemáticas: la que se tiene normalmente al entrar en la universidad. Aunque en el texto se incluyen todos los resultados teóricos necesarios, unos como definiciones, proposiciones y teoremas, y otros como ejercicios y ejemplos. Todos los resultados que entendemos son necesarios adquirir están resaltado con letra negrita.
Metodología: La metodología empleada para la presentación y desarrollo de los contenidos es la propia de la enseñanza a distancia. Se ha pretendido que el texto sea auto-contenido en cierta medida. Hemos buscado un lenguaje matemático claro y sencillo para presentar cada concepto, y lo hemos acompañado de ejemplos detalladamente resueltos. Al menos ésta ha sido la intención del autor. Además, se ha intentado emplear cualquier de las formas correctas para escribir matemáticas y razonamientos, unas con más palabras que otras y algunas en un lenguaje muy formal o simbólico.
Todos los capítulos incluyen una sección de complementos al tema con ciertos ejercicios resueltos tratados como elementos independientes unos de otros, y cuya lectura es complementaria al texto. Son de índole diversa que permite ver los procesos usados en cada momento y algunas demostraciones. A lo largo del texto se hacen numerosas referencias a las definiciones o resultados del texto utilizados. La finalidad es doble: tratamos de facilitar la lectura del texto a la vez que intentamos que el lector fije ideas y conceptos al ir a releer dichos resultados.
Sobre esta 1ª Edición: En este texto existe una sección de comentarios en cada capítulo que complementan el estudio del mismo. Se ha optado por esta forma de añadir contenidos en lugar de insertar diversos apéndices con esos contenidos. Además, se ha incorporado en cada capítulo un conjunto de cuestiones de autoevaluación que permitirán al lector analizar el aprovechamiento de la lectura y comprensión que haya realizado de este libro.
Hay dos tipos de preguntas. Una docena de preguntas de contestación Si/No, expresadas como 1/0 y que sus respuestas están agrupadas en forma binarios de la forma que formen tres números que escritos en binario dan la respuesta correcta. Por ejemplo los números 14 12 3 se corresponden con las expresiones en binario: 1110 1100 0011. Estas son las contestaciones relativas a las preguntas agrupadas como sigue: 12ª11ª10ª9ª 8ª7ª6ª5ª 4ª3ª2ª1ª por ese orden.
Una decena de preguntas de respuesta múltiple con cuatro posibles respuestas. Cada una estas preguntas tiene anexado un número escrito en negrilla, que permite al estudiante saber las respuestas correctas. Ese número debe ser escrito en notación binaria para saber las opciones correctas. Por ejemplo, el número 11 le corresponde la expresión binaria 1011 que responde a la la agrupación de las respuestas de la forma d c b a por ese orden.
Miguel Delgado Pineda